角の大きさを表すのに、最もふつうに用いられるのは、直角の1/90を単位とする表し方である。この直角の1/90は1度と呼ばれ、記号1°で表される。この単位によれば、直角は90°、平角は180°、円周角は360°となる。

　しかし、電気では“度”よりもむしろ弧度法による単位を用いたほうが便利である。この方法は半径が1である円の周の長さが2πであることを利用して、円周角360°が2πで表されるように、単位の角を選ぶのである。

　この単位によれば、直角はπ/2で、平角はπで表される。円周角が2πとなるように選んだ角の単位をラジアンまたは弧度という。1ラジアンの角度とは半径1の円において、それを中心角とする円弧の長さがちょうど1に等しくなるような角である(第1図)。

■第1図■

　原点Oを中心とする半径1の円を単位円という。第2図でx軸のxの正の部分を始線とする角θの動径と単位円Pとの交点Pの座標（x、y）について考えてみる。OP=1であるから、三角関数の定義から、

　　OQ/OP =cosθ　→　x=cosθ　　PQ/OP=sinθ　→　y=sinθ

　ここで単位円上の点（x、y）について三平方の定理からx²＋y²⁼1

　したがって、sin²θ＋cos²θ=1となることが分かる。

■第2図■

（1）y=sinθのグラフ

　第2図を見てください。Pのy座標がsinθの値になることが分かるはずである。したがって、横軸にθの値をとり、縦軸に各θに対するsinθの値を目盛ってグラフを書くと第3図のようになる。書き方は例えば、右のθ軸上θ=π/6で、θ軸に立てた垂線と、θ=π/6に対する動径と単位円との交点Pからθ軸に引いた平行線との交点をつくる。また、ほかの角度、θ=π/3、π/2、2π/3、5π/6、π、…と順々に同様にして交点をつくり、この交点を結ぶと①、②、③、④のy=sinθのグラフが第3図のようになることが分かる。

　これを正弦曲線（サインカーブ）と呼んでいる。また、sinθの値は2π〔rad〕ごとに同じ変化を繰り返す。

■第3図■

（2）y=cosθのグラフ

　次にy=cosθのグラフを書いてみる。既に第2図で述べたように、角θの動径と単位円との交点をPとすると、Pのy座標がsinθであり、x座標がcosθに等しいことを学んだ。このことから動径Pのx座標の大きさに注目しながら

　y=cosθのグラフを書くと、第4図のようになる。y=cosθのグラフは余弦曲線またはコサインカーブと呼ばれる。

■第4図■

　しかし、グラフから分かるように　cosθ=sin(θ＋π/2)であるから、y=cosθのグラフは、y=sinθのグラフをθの方向に－π/2だけ（負の方向にπ/2だけ）平行移動したものである。すなわち、余弦曲線は位置がずれているだけで、形状的には正弦曲線と全く変わりない(第5図)。

■第5図■

　第6図の交流を瞬時値で表現すると、電圧e=E_msinωt〔V〕であるが、E_m:最大値であり、実効値をEとすれば 〔V〕、またωは角速度〔rad/s〕でω=2πf、θ=ωtである。この交流は時間T〔s〕ごとに同じ変化を繰り返しており、このT〔s〕を周期と呼び、次の関係が成立する。

　　　　　T=1/f〔s〕

■第6図■

　三角関数のグラフが二つあった場合、位相の進み遅れの判断が必要となる。このときの判断の基準は交流の波形から行う場合と、瞬時値の式から行う場合がある。いま第7図のように（5･1）式および（5･2）式に示される周波数の等しい二つの波形に時間的なずれ、すなわち位相差があるとき、位相の進み遅れの判断はどうすればよいであろうか。

　　　　　　e₁=E_msinωt〔V〕　　　　　　　　（5･1）

　　　　　　e₂=E_msin(ωt－θ)〔V〕　　 　　（5･2）

　この二つの交流e₁、e₂ はt=0のときの位相がそれぞれ0、－θであるから、e₁はe₂よりもθだけ位相が進んでいる、あるいはe₂はe₁よりもθだけ位相が遅れていると表現する。また、位相のずれがないときは同相であるという。

　e₁の位相がe₂に対してどれだけ進んでいるか、また遅れているかの判断はe₁の位相角からe₂の位相角を引けばよい。

　（e₁の位相角）－（e₂の位相角）の値が正の場合は、e₁はe₂より位相が進んでいることになるし、負ならばe₁はe₂より位相が遅れていることになる。

（例題1）e=100sin(ωt＋π/6)〔V〕及びi=10sin(ωt－π/3)〔A〕の波形のグラフを描き、eとiとの位相差を求めよ。

〔解答〕　e=100sin(ωt＋π/6)において、

　　　ωt=0ではe=100sinπ/6=100×1/2=50V

　　　ωt=－π/6ではe=100sin0=0

となるから、eの波形のグラフは第7図のようになる。

　また、i=10sin(ωt－π/3)で、

　　　ωt=0では

　　　ωt=π/3ではi=10sin0=0

となるからiの波形のグラフは第8図のようになる。

■第7図■

■第8図■

　eの位相角はθ₁=π/6、iの位相角はθ₂=－π/3であるから、位相差はθ₁―θ₂=π/6－(－π/3)=π/2〔rad〕となる。

（例題2）図の回路において、右のような正弦波交流電圧v〔V〕を抵抗R=10Ωに加えたとき、流れる電流の瞬時値i〔A〕を表す式として正しいのは次のうちどれか。ただし、電源の周波数を50Hzとする。

■第9図■

　(1)10sin(50π t－π/6)　　 　(2)10sin(50π t＋π/6)

　(3)10sin100π t　　　　　　　 (4)

　(5)

　〔解答〕与えられた電圧波形の瞬時値の式は、

　　〔V〕

　　〔V〕

　である。ただし、ωt=2πf=100π t

　　瞬時値iは抵抗負荷Rであるから、電圧vと同相で次のように表される。

〔A〕

〔A〕

　〔答〕(5)

　〔解答〕

　Eをsinで表せば、位相をπ/2進める必要があるので、位相差θは、

　この位相差を時間で表すには、ωt=θを満足するtを求めればよい。

　ω=100πであるから、

　〔答〕(5)

　〔解答〕時刻t₁での瞬時値i=4〔A〕を電流の式に代入すると、

　　　　　　変形すると　

　　　　　　sinの値が になるときは、角度がπ/4〔rad〕のときなので、

　　　　　　π /4=120π t₁

　〔答〕(1)